2016/05/14 (AM 1:12)

aaaaaaaa

確率 1/10 で当たるんなら 10 回やれば当たる？

たまに上のようなことを耳にするが確かになんか正しそうに見える. 箱の中に当たりくじが１個, はずれが９個入っているとしよう. 引いたくじは箱の中に戻さないとすれば, 10人がくじを引けば必ず誰かが当たる.

しかし, 引いたくじを箱の中に戻すとすれば, どうなるか？確率は毎回 1/10 である. これを 10 回するので一回でも当たる確率は (1/10)×10 で１とするのは誤りである. 正解を求めてみよう.

まず, 一回も当たることがない, すなわち, 一回も当たらない確率を求めよう. それで出た答えを全体の確率, すなわち１から引けばよいのである.

一回外れる確率は 9/10(=1-(1/10)). これを 10 回行うので, すべて外れる確率は (9/10)¹⁰となる. あとは１からこれを引いて,

1-(9/10)¹⁰=0.651322…≒65.13%

となり, 確率は半分強となる. 意外と少ない？多い？参考までに, 1/20 を 20 回などの確率を書いておく.

当たる確率
1/2 を２回	75.00%
1/5 を５回	67.23%
1/10 を10回	65.13%
1/20 を20回	64.15%
1/50 を50回	63.58%
1/100 を100回	63.40%
1/256 を256回	63.28%
1/512 を512回	63.25%
1/1024 を1024回	63.23%

おまけ

では, 小さい確率のものを何回もやったら確率はどうなるか？を考えてみよう. つまり, 確率 1/n で当たるくじを, n 回引いたら, どれぐらいの確率で当たるか？である. 上で, 10 でやったものを, 文字 n とおいてやればよいので, 確率は,

1-(n-1/n)ⁿ

となる. これを p(n) と置こう. n がどんどん大きくなっていったときこの値は何に近づくか求めてみよう. こういう値のことを極限値と呼ぶ. ここではこれを lim p(n), n->∞ と書くことにしよう.

高校の微分積分（今は数学III？）を習っていれば求められる. まず, 自然対数の低 e は

lim (1+(1/n))ⁿ, n->∞

で定義されていたことを思い出そう. 上の式と見比べるとなんか似ている. 上の式をうまく変形してこの形が出てくるようにすればよい.

p(n)=1-(n-1/n)ⁿ =1-(1/(n/n-1))ⁿ =1-(1/(1+1/(n-1)))ⁿ

となるので,

lim p(n), n->∞ =1-1/e

となる. e=2.718281828459045… なのでこの値は 0.63212… と求められる.

ホームページから見つけたが

目から鱗だった(笑)

引いたものを戻すと

４割は外れるのだ(^^♪

びっくりある(^^♪

スタハ　たつむら

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２０２２年

高校部門

２２年実績

小松２０名

（昨年より１６名増）

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↑小松駅前校は　去年３月開校。初年度の結果。

金附　泉丘　二水　

石川高専　小松　桜丘　

１１２名合格

（過去最高）

（＋３４名大幅アップ）

（＋４４%アップ）

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大躍進！大幅更新！

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実績

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石川県１位はいなかったが

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