確率 1/10 で当たるんなら 10 回やれば当たる?
たまに上のようなことを耳にするが 確かになんか正しそうに見える. 箱の中に当たりくじが1個, はずれが9個入っているとしよう. 引いたくじは箱の中に戻さないとすれば, 10人が くじを引けば必ず誰かが当たる.
しかし, 引いたくじを箱の中に戻すとすれば, どうなるか? 確率は毎回 1/10 である. これを 10 回するので 一回でも当たる確率は (1/10)×10 で1とするのは誤りである. 正解を求めてみよう.
まず, 一回も当たることがない, すなわち, 一回も当たらない 確率を求めよう. それで出た答えを全体の確率, すなわち1から引けばよいのである.
一回外れる確率は 9/10(=1-(1/10)). これを 10 回行うので, すべて外れる確率は (9/10)10となる. あとは1からこれを引いて,
となり, 確率は半分強となる. 意外と少ない?多い? 参考までに, 1/20 を 20 回などの確率を書いておく.
1/2 を2回 | 75.00% |
1/5 を5回 | 67.23% |
1/10 を10回 | 65.13% |
1/20 を20回 | 64.15% |
1/50 を50回 | 63.58% |
1/100 を100回 | 63.40% |
1/256 を256回 | 63.28% |
1/512 を512回 | 63.25% |
1/1024 を1024回 | 63.23% |
おまけ
では, 小さい確率のものを何回もやったら確率はどうなるか? を考えてみよう. つまり, 確率 1/n で当たるくじを, n 回引いたら, どれぐらいの確率で当たるか? である. 上で, 10 でやったものを, 文字 n とおいて やればよいので, 確率は,
となる. これを p(n) と置こう. n がどんどん大きくなっていったときこの値は何に近づくか 求めてみよう. こういう値のことを極限値と呼ぶ. ここではこれを lim p(n), n->∞ と書くことにしよう.
高校の微分積分(今は数学III?)を習っていれば 求められる. まず, 自然対数の低 e は
で定義されていたことを思い出そう. 上の式と見比べるとなんか似ている. 上の式をうまく変形してこの形が出てくるようにすればよい.
となるので,
となる. e=2.718281828459045… なのでこの値は 0.63212… と求められる.
ホームページから見つけたが
目から鱗だった(笑)
引いたものを戻すと
4割は外れるのだ(^^♪
びっくりある(^^♪
スタハ たつむら
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