2016/05/14

確率 1/10 で当たるんなら 10 回やれば当たる？

たまに上のようなことを耳にするが 確かになんか正しそうに見える. 箱の中に当たりくじが１個, はずれが９個入っているとしよう. 引いたくじは箱の中に戻さないとすれば, 10人が くじを引けば必ず誰かが当たる.

しかし, 引いたくじを箱の中に戻すとすれば, どうなるか？ 確率は毎回 1/10 である. これを 10 回するので 一回でも当たる確率は (1/10)×10 で１とするのは誤りである. 正解を求めてみよう.

まず, 一回も当たることがない, すなわち, 一回も当たらない 確率を求めよう. それで出た答えを全体の確率, すなわち１から引けばよいのである.

一回外れる確率は 9/10(=1-(1/10)). これを 10 回行うので, すべて外れる確率は (9/10)¹⁰となる. あとは１からこれを引いて,

となり, 確率は半分強となる. 意外と少ない？多い？ 参考までに, 1/20 を 20 回などの確率を書いておく.

おまけ

では, 小さい確率のものを何回もやったら確率はどうなるか？ を考えてみよう. つまり, 確率 1/n で当たるくじを, n 回引いたら, どれぐらいの確率で当たるか？ である. 上で, 10 でやったものを, 文字 n とおいて やればよいので, 確率は,

となる. これを p(n) と置こう. n がどんどん大きくなっていったときこの値は何に近づくか 求めてみよう. こういう値のことを極限値と呼ぶ. ここではこれを lim p(n), n->∞ と書くことにしよう.

高校の微分積分（今は数学III？）を習っていれば 求められる. まず, 自然対数の低 e は

で定義されていたことを思い出そう. 上の式と見比べるとなんか似ている. 上の式をうまく変形してこの形が出てくるようにすればよい.

となるので,

となる. e=2.718281828459045… なのでこの値は 0.63212… と求められる.

ホームページから見つけたが

目から鱗だった(笑)

引いたものを戻すと

４割は外れるのだ(^^♪

びっくりある(^^♪

スタハ　たつむら

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